Bewegung geladener Teilchen in einem Magnetfeld

Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld

Die Bewegung geladener Teilchen in einem Magnetfeld wird durch die Lorentz-Kraft bestimmt, eine Kraft, die auf ein geladenes Teilchen wirkt, das sich durch ein elektrisches und magnetisches Feld bewegt. Die Lorentz-Kraft wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

F = q(E + v × B)

wobei:

• F der Lorentz-Kraftvektor (N) ist,
• q die Ladung des Teilchens (C),
• E der Vektor des elektrischen Feldes (V/m),
• v der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens (m/s),
• B der Magnetfeldvektor (T) ist,
• und das Kreuzprodukt durch × dargestellt wird.

In Abwesenheit eines elektrischen Feldes (E = 0) ist die Kraft auf ein geladenes Teilchen aufgrund eines Magnetfeldes:

F = q(v × B)

Da die Kraft immer senkrecht sowohl zur Geschwindigkeit als auch zum Magnetfeld steht, verrichtet sie keine Arbeit am geladenen Teilchen. Daher bleibt die kinetische Energie des Teilchens konstant, aber seine Bewegungsrichtung ändert sich, was zu gekrümmten Trajektorien führt.

Drei mögliche Szenarien

Die Bewegung geladener Teilchen in einem Magnetfeld kann anhand von drei möglichen Szenarien beschrieben werden:

1. Wenn die Geschwindigkeit des geladenen Teilchens parallel oder antiparallel zum Magnetfeld (v ∥ B) ist, wird das Teilchen keiner Kraft unterzogen und bewegt sich geradlinig.
2. Wenn die Geschwindigkeit des geladenen Teilchens senkrecht zum Magnetfeld (v ⊥ B) steht, erfährt das Teilchen eine Zentripetalkraft, die es auf einen kreisförmigen Pfad zwingt. Der Radius (r) des Kreiswegs ist gegeben durch:

r = (m * v) / (|q| * B)

• wo m die Masse des Teilchens (kg),
• v die Geschwindigkeit des Teilchens (m/s),
• |q| der Betrag der Ladung (C),
• B der Betrag des Magnetfeldes (T) ist.

3. Wenn die Geschwindigkeit des geladenen Teilchens in einem Winkel zum Magnetfeld steht, kann die Bewegung in parallele und senkrechte Komponenten zerlegt werden. Die parallele Komponente (v ∥ B) führt zu einer geradlinigen Bewegung entlang der Feldlinien, während die senkrechte Komponente (v ⊥ B) eine kreisförmige Bewegung um die Feldlinien verursacht. Die Kombination dieser beiden Bewegungen führt zu einer helixförmigen Trajektorie.

Anwendungen

Das Verständnis der Bewegung geladener Teilchen in einem Magnetfeld ist wesentlich in vielen Anwendungen, einschließlich Teilchenbeschleunigern, Massenspektrometrie und der Untersuchung von kosmischen Strahlen und Plasmen.

Beispiel – Lorentz-Kraft

Ein einfaches Beispiel für die Bewegung eines geladenen Teilchens in einem Magnetfeld:

Problem: Ein Proton mit einer Geschwindigkeit von 3 x 10⁶ m/s tritt in ein gleichförmiges Magnetfeld von 0.5 T ein, senkrecht zu den Feldlinien. Bestimmen Sie den Radius des Kreiswegs, dem das Proton folgt.

Lösung: Zuerst müssen wir die relevanten Parameter für das Problem identifizieren:

• Die Ladung eines Protons (q) beträgt 1.6 x 10^-19 C.
• Die Masse eines Protons (m) beträgt 1.67 x 10^-27 kg.
• Der Betrag des Magnetfeldes (B) beträgt 0.5 T.
• Der Betrag der Geschwindigkeit des Protons (v) beträgt 3 x 10⁶ m/s.

Da die Geschwindigkeit senkrecht zum Magnetfeld steht, wird das Proton einen Kreisweg nehmen. Wir können den Radius (r) des Kreiswegs mit der Formel berechnen:

r = (1.67 x 10^-27 kg * 3 x 10⁶ m/s) / (1.6 x 10^-19 C * 0.5 T) ≈ 6.25 x 10^-3 m

Der Radius des Kreiswegs, dem das Proton folgt, beträgt ungefähr 6.25 mm.

Berechnung von Magnetfeldern

Mehrere Gesetze und Gleichungen werden häufig für die Berechnung von Magnetfeldern verwendet, abhängig vom spezifischen Kontext und den Quellen des Magnetfeldes. Einige der wichtigsten Gesetze und Gleichungen sind:

• Biot-Savart-Gesetz: Dieses Gesetz berechnet das Magnetfeld (B), das von einem kleinen Segment eines stromführenden Drahtes (Idl) erzeugt wird. Das Biot-Savart-Gesetz ist besonders nützlich zur Berechnung des Magnetfelds um Schleifen und Drahtspulen.

B = (μ₀ / 4π) * ∫(Idl × r) / r³

• wo B der Vektor des Magnetfeldes (Tesla, T),
• μ₀ die Permeabilität des freien Raumes (4π × 10^-7 Tm/A),
• I der Strom (Ampere, A),
• dl der differentielle Längenvektor des Drahtes (Meter, m),
• r der Positionvektor vom Draht zum Punkt, wo das Magnetfeld berechnet wird (Meter, m),
• und das Kreuzprodukt durch × dargestellt wird.

Ampèresches Gesetz: Das Ampèresche Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen der Zirkulation des Magnetfeldes (B) um eine geschlossene Schleife und dem Nettostrom (I) durch die Schleife her. Es ist besonders nützlich zur Berechnung des Magnetfeldes in Fällen mit hoher Symmetrie, wie bei geraden Leitern, Solenoiden und Toroiden.