Movimento delle Particelle Cariche in un Campo Magnetico
Il movimento delle particelle cariche all’interno di un campo magnetico è determinato dalla forza di Lorentz, ovvero la forza che una particella carica sperimenta muovendosi attraverso un campo elettrico e magnetico. La forza di Lorentz è descritta dalla seguente equazione:
\[ \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
dove:
- \(\mathbf{F}\) è il vettore della forza di Lorentz (N)
- \(q\) è la carica della particella (C)
- \(\mathbf{E}\) è il vettore del campo elettrico (V/m)
- \(\mathbf{v}\) è il vettore della velocità della particella (m/s)
- \(\mathbf{B}\) è il vettore del campo magnetico (T)
- \(\times\) indica il prodotto vettoriale
In assenza di campo elettrico (\(\mathbf{E} = 0\)), la forza su una particella carica dovuta a un campo magnetico è:
\[ \mathbf{F} = q(\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
Poiché la forza è sempre perpendicolare sia alla velocità che al campo magnetico, essa non compie lavoro sulla particella carica. Di conseguenza, l’energia cinetica della particella rimane costante, ma la sua direzione di movimento cambia, portando a traiettorie curve.
Il movimento delle particelle cariche in un campo magnetico può essere descritto in termini di tre scenari possibili:
- Se la velocità della particella carica è parallela o antiparallela al campo magnetico (\(\mathbf{v} \| \mathbf{B}\)), la particella non è soggetta a nessuna forza e si muove in linea retta.
- Se la velocità della particella carica è perpendicolare al campo magnetico (\(\mathbf{v} \perp \mathbf{B}\)), la particella sperimenta una forza centripeta, causandone il movimento in un percorso circolare. Il raggio (\(r\)) del percorso circolare è dato da:
\[ r = \frac{m \cdot v}{|q| \cdot B} \]
- \(m\) è la massa della particella (kg)
- \(v\) è il modulo della velocità della particella (m/s)
- \(|q|\) è il modulo della carica (C)
- \(B\) è il modulo del campo magnetico (T)
- Se la velocità della particella carica forma un angolo con il campo magnetico, il movimento può essere scomposto in componenti parallele e perpendicolari. La componente parallela (\(\mathbf{v} \| \mathbf{B}\)) risulta in un movimento rettilineo lungo le linee di campo, mentre la componente perpendicolare (\(\mathbf{v} \perp \mathbf{B}\)) causa un movimento circolare attorno alle linee di campo. La combinazione di questi due movimenti risulta in una traiettoria elicoidale.
La comprensione del movimento delle particelle cariche in un campo magnetico è essenziale in molte applicazioni, inclusi gli acceleratori di particelle, la spettrometria di massa e lo studio dei raggi cosmici e dei plasmi.
Esempio – Forza di Lorentz
Ecco un semplice esempio del movimento di una particella carica in un campo magnetico:
Problema: Un protone con una velocità di \(3 \times 10^6\) m/s entra in un campo magnetico uniforme di 0.5 T, perpendicolare alle linee del campo. Determinare il raggio del percorso circolare seguito dal protone.
Soluzione: Prima, dobbiamo identificare i parametri rilevanti per il problema:
- La carica di un protone (\(q\)) è \(1.6 \times 10^{-19}\) C.
- La massa di un protone (\(m\)) è \(1.67 \times 10^{-27}\) kg.
- Il modulo del campo magnetico (\(B\)) è 0.5 T.
- Il modulo della velocità del protone (\(v\)) è \(3 \times 10^6\) m/s.
Dato che la velocità è perpendicolare al campo magnetico, il protone si muoverà in un percorso circolare. Possiamo calcolare il raggio (\(r\)) del percorso circolare usando la formula:
\[ r = \frac{1.67 \times 10^{-27} \text{ kg} \cdot 3 \times 10^6 \text{ m/s}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C} \cdot 0.5 \text{ T}} \approx 6.25 \times 10^{-3} \text{ m} \]
Il raggio del percorso circolare seguito dal protone è approssimativamente 6.25 mm.
Calcolo dei Campi Magnetici
Varie leggi ed equazioni sono comunemente utilizzate per calcoli dei campi magnetici, a seconda del contesto specifico e delle fonti del campo magnetico. Alcune delle leggi ed equazioni più importanti includono:
- Legge di Biot-Savart: Questa legge calcola il campo magnetico (\(B\)) generato da un piccolo segmento di un filo percorso da corrente (\(Idl\)). La Legge di Biot-Savart è particolarmente utile per calcolare il campo magnetico attorno ad anelli e bobine di filo.
\[ B = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{Idl \times r}{r^3} \]
- \(B\) è il vettore del campo magnetico (Tesla, T)
- \(\mu_0\) è la permeabilità del vuoto (\(4\pi \times 10^{-7}\) Tm/A)
- \(I\) è la corrente (Amperes, A)
- \(dl\) è il vettore della lunghezza differenziale del filo (metri, m)
- \(r\) è il vettore posizione dal filo al punto dove il campo magnetico è calcolato (metri, m)
- \(\times\) indica il prodotto vettoriale
- \(\int\) denota l’integrazione lungo la lunghezza del filo
- Legge di Ampère: La Legge di Ampère collega la circolazione del campo magnetico (\(B\)) attorno a un circuito chiuso alla corrente netta (\(I\)) che passa attraverso il circuito. È particolarmente utile per calcolare il campo magnetico in casi di alta simmetria, come conduttori dritti, solenoidi e toroidi.
\[ \oint B \cdot dl = \mu_0 \cdot I_{\text{incluso}} \]
- \(B\) è il vettore del campo magnetico (Tesla, T)
- \(dl\) è il vettore della lunghezza differenziale lungo il circuito chiuso (metri, m)
- \(\mu_0\) è la permeabilità del vuoto (\(4\pi \times 10^{-7}\) Tm/A)
- \(I_{\text{incluso}}\) è la corrente netta che passa attraverso il circuito (Amperes, A)
- \(\oint\) denota l’integrale di linea attorno al circuito chiuso
- \(\cdot\) indica il prodotto scalare
- Legge di Gauss per il Magnetismo: La Legge di Gauss per il Magnetismo afferma che il flusso magnetico netto attraverso una superficie chiusa è sempre zero. Questo perché i campi magnetici sono creati da dipoli (ovvero, hanno entrambi i poli nord e sud), e le linee di campo formano sempre circuiti chiusi.
\[ \oint B \cdot dA = 0 \]
- \(B\) è il vettore del campo magnetico (Tesla, T)
- \(dA\) è il vettore dell’area differenziale sulla superficie chiusa (metri quadrati, m²)
- \(\oint\) denota l’integrale di superficie sulla superficie chiusa
- \(\cdot\) indica il prodotto scalare
Queste leggi ed equazioni, combinate con le proprietà di materiali magnetici specifici, possono essere utilizzate per calcolare i campi magnetici in vari scenari. Tuttavia, è importante notare che in situazioni più complesse, metodi numerici o software specializzati possono essere richiesti per ottenere risultati accurati.
