Maxwells Gleichungen in Integral- und Differentialform
Maxwells Gleichungen sind fundamentale Gesetze in der Elektrodynamik, die die Beziehungen zwischen elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben. Diese Gleichungen können sowohl in Integral- als auch in Differentialform dargestellt werden und sind grundlegend für das Verständnis elektromagnetischer Phänomene. In diesem Artikel werden beide Formen dieser Gleichungen vorgestellt und erläutert.
Gaußsches Gesetz für Elektrizität
Das Gaußsche Gesetz für Elektrizität bezieht sich auf die Verteilung elektrischer Ladungen und die daraus resultierenden elektrischen Felder.
Integralform:
∮ E • dA = (1/ε₀) ∫ ρ dV
Differentialform:
∇ • E = ρ/ε₀
Die Integralform beschreibt den Gesamtfluss des elektrischen Feldes E durch eine geschlossene Oberfläche und ist proportional zur eingeschlossenen Ladung. Die Differentialform stellt die lokale Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und der Ladungsdichte ρ dar.
Gaußsches Gesetz für Magnetismus
Das Gaußsche Gesetz für Magnetismus postuliert, dass magnetische Monopole nicht existieren.
Integralform:
∮ B • dA = 0
Differentialform:
∇ • B = 0
Beide Formen zeigen, dass der Gesamtfluss eines magnetischen Feldes B durch eine geschlossene Oberfläche gleich null ist, was die Nichtexistenz magnetischer Monopole impliziert.
Faradaysches Gesetz der elektromagnetischen Induktion
Dieses Gesetz beschreibt, wie sich zeitlich verändernde Magnetfelder elektrische Felder erzeugen.
Integralform:
∮ E • dl = -d(∫ B • dA)/dt
Differentialform:
∇ × E = -∂B/∂t
Die Integralform bezieht sich auf die induzierte elektromotorische Kraft in einer geschlossenen Schleife, während die Differentialform zeigt, wie die zeitliche Änderung des Magnetfeldes das elektrische Feld beeinflusst.
Ampèresches Gesetz mit Maxwells Erweiterung (Ampere-Maxwell-Gesetz)
Dieses Gesetz verknüpft das Magnetfeld mit dem elektrischen Strom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Feldes.
Integralform:
∮ B • dl = μ₀ ( ∫ J • dA + ε₀ * d(∫ E • dA)/dt )
Differentialform:
∇ × B = μ₀(J + ε₀ ∂E/∂t)
Die Integralform berücksichtigt sowohl den konventionellen Strom als auch den Verschiebungsstrom, während die Differentialform die Beziehung zwischen Magnetfeldern und Strömen sowie zeitlichen Änderungen des elektrischen Feldes lokal beschreibt.
Zusammenfassung
In diesen Gleichungen repräsentieren E und B die elektrischen bzw. magnetischen Felder, ρ die elektrische Ladungsdichte und J die elektrische Stromdichte. ε₀ ist die elektrische Feldkonstante (Vakuumpermittivität) und μ₀ die magnetische Feldkonstante (Vakuumpermeabilität). ∇ (Nabla) ist ein Vektor-Differentialoperator, der zur Berechnung der Divergenz (∇ •) und der Rotation (∇ ×) verwendet wird. ∂/∂t stellt die partielle Ableitung nach der Zeit dar.
Die Integralform der Maxwellschen Gleichungen befasst sich mit geschlossenen Oberflächen (Fluxintegrale) und geschlossenen Schleifen (Pfadintegrale), während die Differentialform die lokalen Eigenschaften elektrischer und magnetischer Felder in Bezug auf die Ladungs- und Stromverteilungen an einem Punkt im Raum darstellt. Beide Formen der Gleichungen werden in der Analyse elektromagnetischer Phänomene häufig verwendet.
