As Equações de Maxwell em Forma Integral e Diferencial
As equações de Maxwell são fundamentais na teoria eletromagnética, descrevendo como os campos elétricos e magnéticos são gerados e alterados por si mesmos, assim como por cargas e correntes. Estas equações podem ser expressas em duas formas: integral e diferencial, cada uma oferecendo uma perspectiva única sobre fenômenos eletromagnéticos.
Lei de Gauss para Eletricidade
A Lei de Gauss para Eletricidade relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica encerrada por essa superfície.
- Forma Integral: ∮ E • dA = (1/ε₀) ∫ ρ dV
- Forma Diferencial: ∇ • E = ρ/ε₀
Lei de Gauss para Magnetismo
Esta lei afirma que o fluxo magnético através de uma superfície fechada é sempre zero, implicando que não existem “cargas magnéticas”.
- Forma Integral: ∮ B • dA = 0
- Forma Diferencial: ∇ • B = 0
Lei de Faraday da Indução Eletromagnética
A Lei de Faraday descreve como uma variação no tempo do campo magnético induz um campo elétrico.
- Forma Integral: ∮ E • dl = -d(∫ B • dA)/dt
- Forma Diferencial: ∇ × E = -∂B/∂t
Lei de Ampère com Adição de Maxwell (Lei de Ampère-Maxwell)
Esta lei relaciona o campo magnético ao movimento de cargas elétricas e a variação do campo elétrico.
- Forma Integral: ∮ B • dl = μ₀ ( ∫ J • dA + ε₀ * d(∫ E • dA)/dt )
- Forma Diferencial: ∇ × B = μ₀(J + ε₀ ∂E/∂t)
Significado das Variáveis nas Equações
- E representa o campo elétrico.
- B representa o campo magnético.
- ρ representa a densidade de carga elétrica.
- J representa a densidade de corrente elétrica.
- ε₀ é a permissividade do vácuo.
- μ₀ é a permeabilidade do vácuo.
- ∇ (nabla) é um operador diferencial vetorial, usado para calcular a divergência (∇ •) e o rotacional (∇ ×).
- ∂/∂t representa a derivada parcial em relação ao tempo.
Aplicação das Formas Integral e Diferencial
A forma integral das equações de Maxwell lida com superfícies fechadas (integrais de fluxo) e laços fechados (integrais de caminho), enquanto a forma diferencial relaciona as propriedades locais dos campos elétricos e magnéticos com as distribuições de carga e corrente em um ponto no espaço. Ambas as formas são amplamente utilizadas na análise de fenômenos eletromagnéticos.
