Les équations de Maxwell : Formes Intégrale et Différentielle
Les équations de Maxwell constituent la base de l’électromagnétisme classique, de l’optique classique, et des circuits électriques. Ces équations décrivent comment les champs électriques et magnétiques sont générés et modifiés par les charges et les courants, ainsi que leur interaction avec la matière. Il existe deux formes pour ces équations : intégrale et différentielle.
Loi de Gauss pour l’électricité
Forme Intégrale : La loi de Gauss pour l’électricité, en forme intégrale, s’écrit comme ∮ E • dA = (1/ε0) ∫ ρ dV. Cette équation indique que le flux électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la charge électrique totale enfermée dans cette surface.
Forme Différentielle : En forme différentielle, elle est exprimée par ∇ • E = ρ/ε0. Cette forme relie la densité de charge en un point à la divergence du champ électrique en ce point.
Loi de Gauss pour le magnétisme
Forme Intégrale : La loi de Gauss pour le magnétisme, en forme intégrale, est donnée par ∮ B • dA = 0. Cette équation signifie que le flux magnétique à travers une surface fermée est toujours nul, indiquant l’absence de « monopoles magnétiques ».
Forme Différentielle : En forme différentielle, elle s’écrit ∇ • B = 0, indiquant que le champ magnétique a toujours une divergence nulle.
Loi de Faraday sur l’induction électromagnétique
Forme Intégrale : La loi de Faraday, en forme intégrale, se présente comme ∮ E • dl = -d(∫ B • dA)/dt. Elle décrit comment un champ électrique est induit par une variation temporelle du champ magnétique.
Forme Différentielle : La forme différentielle est ∇ × E = -∂B/∂t, qui exprime la même idée en termes de la variation locale du champ magnétique.
Loi d’Ampère avec l’ajout de Maxwell (Loi d’Ampère-Maxwell)
Forme Intégrale : La loi d’Ampère-Maxwell, en forme intégrale, est ∮ B • dl = μ0 ( ∫ J • dA + ε0 * d(∫ E • dA)/dt ). Cette loi relie le champ magnétique autour d’un circuit fermé à la somme du courant électrique et du changement temporel du flux électrique à travers la surface.
Forme Différentielle : En forme différentielle, la loi s’écrit ∇ × B = μ0(J + ε0 ∂E/∂t), qui décrit comment un champ magnétique est généré par un courant électrique et par la variation temporelle du champ électrique.
Dans ces équations, E représente le champ électrique, B le champ magnétique, ρ la densité de charge électrique, J la densité de courant électrique, ε0 la permittivité du vide, et μ0 la perméabilité du vide. ∇ (nabla) est un opérateur différentiel vectoriel, utilisé pour calculer la divergence (∇ •) et le rotationnel (∇ ×). ∂/∂t représente la dérivée partielle par rapport au temps.
La forme intégrale des équations de Maxwell traite des surfaces fermées (intégrales de flux) et des boucles fermées (intégrales de chemin), tandis que la forme différentielle relie les propriétés locales des champs électriques et magnétiques aux distributions de charge et de courant en un point de l’espace. Ces deux formes des équations sont largement utilisées dans l’analyse des phénomènes électromagnétiques.
