Lorentzkraftgleichung | Teilchen im elektrischen und magnetischen Feld

Lorentz-Kraft-Gleichung

Die Lorentz-Kraft ist ein grundlegendes Konzept in der Elektromagnetik und spielt eine entscheidende Rolle im Verhalten von geladenen Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern. Benannt nach dem niederländischen Physiker Hendrik Lorentz, beschreibt die Lorentz-Kraft die Kraft, die ein geladenes Teilchen erfährt, wenn es sich durch elektrische und magnetische Felder bewegt.

Lorentz-Kraft-Gleichung

Die auf ein geladenes Teilchen wirkende Lorentz-Kraft (F) wird durch die folgende Gleichung gegeben:

\[ F = q(E + v \times B) \]

Wo:

  • F ist der Vektor der Lorentz-Kraft (N)
  • q ist die Ladung des Teilchens (C)
  • E ist der Vektor des elektrischen Feldes (V/m)
  • v ist der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens (m/s)
  • B ist der Vektor des magnetischen Feldes (T)
  • \(\times\) bezeichnet das Kreuzprodukt

Diese Gleichung zeigt, dass die Lorentz-Kraft die vektorielle Summe von zwei Komponenten ist: der elektrischen Kraft (qE) und der magnetischen Kraft (qv \(\times\) B). Die elektrische Kraft wirkt in Richtung des elektrischen Feldes, während die magnetische Kraft immer senkrecht zur Geschwindigkeit des geladenen Teilchens und zum magnetischen Feld steht.

Geladene Teilchen in elektrischen Feldern

In Abwesenheit eines magnetischen Feldes (B = 0) reduziert sich die Lorentz-Kraft-Gleichung auf die elektrische Kraft:

\[ F = qE \]

Das geladene Teilchen erfährt eine Kraft in Richtung des elektrischen Feldes (wenn die Ladung positiv ist) oder in entgegengesetzter Richtung (wenn die Ladung negativ ist). Die Bewegung des Teilchens unter dem Einfluss der elektrischen Kraft kann als konstante Beschleunigung beschrieben werden, was zu parabolischen Trajektorien für Teilchen mit einer Anfangsgeschwindigkeit führt.

Geladene Teilchen in magnetischen Feldern

In Abwesenheit eines elektrischen Feldes (E = 0) reduziert sich die Lorentz-Kraft-Gleichung auf die magnetische Kraft:

\[ F = q(v \times B) \]

Die magnetische Kraft steht immer senkrecht sowohl zur Geschwindigkeit als auch zum magnetischen Feld. Daher leistet sie keine Arbeit am geladenen Teilchen, und die kinetische Energie des Teilchens bleibt konstant. Allerdings ändert sich seine Bewegungsrichtung, was zu gekrümmten Trajektorien führt.

Die Bewegung geladener Teilchen in einem magnetischen Feld kann in drei möglichen Szenarien beschrieben werden:

  • Geradlinige Bewegung, wenn die Geschwindigkeit parallel zum magnetischen Feld (v \| B) ist,
  • Kreisförmige Bewegung, wenn die Geschwindigkeit senkrecht zum Feld (v ⊥ B) steht,
  • Helixförmige Bewegung, wenn die Geschwindigkeit in einem Winkel zum Feld steht.

Das Verständnis der Bewegung geladener Teilchen in einem magnetischen Feld ist in vielen Anwendungen unerlässlich, darunter in Teilchenbeschleunigern, Massenspektrometrie und bei der Untersuchung von kosmischen Strahlen und Plasmen.

Berechnung – Lorentz-Kraft

Ein einfaches Beispiel für die Bewegung eines geladenen Teilchens in einem magnetischen Feld:

Problem: Ein Proton mit einer Geschwindigkeit von 3 x 106 m/s tritt in ein gleichförmiges Magnetfeld von 0,5 T senkrecht zu den Feldlinien ein. Bestimmen Sie den Radius des kreisförmigen Pfades, den das Proton verfolgt.

Lösung: Zuerst müssen wir die relevanten Parameter für das Problem identifizieren:

  • Die Ladung eines Protons (q) beträgt 1,6 x 10-19 C.
  • Die Masse eines Protons (m) beträgt 1,67 x 10-27 kg.
  • Die Stärke des Magnetfelds (B) beträgt 0,5 T.
  • Die Größe der Protonengeschwindigkeit (v) beträgt 3 x 106 m/s.

Da die Geschwindigkeit senkrecht zum Magnetfeld steht, wird sich das Proton auf einem kreisförmigen Pfad bewegen. Wir können den Radius (r) des kreisförmigen Pfades mit der Formel berechnen:

\[ r = \frac{m \times v}{|q| \times B} \]

Wenn wir die Werte einsetzen, erhalten wir:

\[ r = \frac{1.67 \times 10-27 kg \times 3 \times 106 m/s}{1.6 \times 10-19 C \times 0,5 T} \approx 6.25 \times 10-3 m \]

Der Radius des kreisförmigen Pfades, den das Proton verfolgt, beträgt ungefähr 6,25 mm.

Lorentz Force Equation

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