マクスウェル方程式の積分形と微分形
マクスウェル方程式は、電磁気学の基本的な方程式であり、積分形と微分形の両方で表現することができます。ここでは、電気に関するガウスの法則、磁気に関するガウスの法則、ファラデーの電磁誘導の法則、およびアンペールの法則（マクスウェルの修正を含む）の4つの方程式について、それぞれの積分形と微分形を紹介します。
電気に関するガウスの法則
積分形：∮ E・dA = (1/ε0) ∫ ρ dV
微分形：∇・E = ρ/ε0
ここで、Eは電場を、ρは電荷密度を表し、ε0は真空の誘電率です。積分形は、閉じた面を通る電場のフラックスが、その面に囲まれた電荷に比例することを示しています。微分形は、電場の発散が局所的な電荷密度に比例することを示しています。
磁気に関するガウスの法則
積分形：∮ B・dA = 0
微分形：∇・B = 0
Bは磁場を表します。この法則は、磁気単極子が存在しないこと、すなわち閉じた面を通る磁場のネットフラックスが常にゼロであることを示しています。
ファラデーの電磁誘導の法則
積分形：∮ E・dl = -d(∫ B・dA)/dt
微分形：∇×E = -∂B/∂t
この方程式は、時間とともに変化する磁場が電場を誘導することを示しています。積分形は、閉じたループを通る電場の線積分が、そのループによって囲まれた面を通る磁場の時間変化率によって決まることを示しています。
アンペールの法則（マクスウェルの修正を含む）
積分形：∮ B・dl = μ0 ( ∫ J・dA + ε0 * d(∫ E・dA)/dt )
微分形：∇×B = μ0(J + ε0 ∂E/∂t)
Jは電流密度を表し、μ0は真空の透磁率です。アンペールの法則は、電流や時間変化する電場が磁場を生じさせることを示しています。
積分形と微分形の使い分け
マクスウェル方程式の積分形は、閉じた面（フラックス積分）や閉じたループ（経路積分）を扱い、一方、微分形は電場と磁場の局所的な性質を点空間の電荷や電流分布と関連付けています。これらの方程式の両方の形式は、電磁現象の分析に広く使用されています。
∇（ナブラ）はベクトル微分演算子であり、発散（∇・）や回転（∇×）の計算に使用されます。∂/∂tは時間に関する偏微分を表します。
これらの方程式により、電磁気学の多くの基本的な現象が説明され、理解されます。
