Gaußsches Gesetz für Magnetismus
Das Gaußsche Gesetz für Magnetismus ist eine der vier grundlegenden Gleichungen der Maxwellschen Gleichungen, die das Verhalten von elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben. Es besagt, dass der gesamte magnetische Fluss durch jede geschlossene Oberfläche immer null ist. Dieses Gesetz hebt eine grundlegende Eigenschaft magnetischer Felder hervor: Sie werden durch magnetische Dipole erzeugt, was bedeutet, dass sie sowohl Nord- als auch Südpole haben und ihre Feldlinien immer geschlossene Schleifen bilden.
Mathematisch kann das Gaußsche Gesetz für Magnetismus ausgedrückt werden als:
∮ B • dA = 0
Wobei:
- B der magnetische Feldvektor ist (gemessen in Tesla, T)
- dA der differentielle Flächenvektor auf der geschlossenen Oberfläche ist (gemessen in Quadratmetern, m²)
- ∮ das Oberflächenintegral über die geschlossene Oberfläche darstellt
- • das Skalarprodukt symbolisiert
Mit anderen Worten, der gesamte magnetische Fluss, der in eine geschlossene Oberfläche eintritt, muss gleich dem gesamten magnetischen Fluss sein, der die Oberfläche verlässt. Dieses Gesetz impliziert, dass es keine magnetischen Monopole gibt, d.h. isolierte Nord- oder Südpole. Alle bekannten magnetischen Quellen haben sowohl Nord- als auch Südpole, und jeder Versuch, die Pole zu trennen, führt zur Entstehung neuer magnetischer Dipole.
Beispiel – Gaußsches Gesetz
Hier ist ein Beispiel für eine Berechnung mit dem Gaußschen Gesetz für Magnetismus:
Problem: Ein Solenoid hat eine Länge von 0,5 m und einen Radius von 0,02 m. Es besteht aus 200 Windungen Draht und führt einen Strom von 3 A. Berechnen Sie den gesamten magnetischen Fluss durch die geschlossene zylindrische Oberfläche, die das Solenoid umschließt.
Lösung: Zuerst müssen wir das magnetische Feld im Inneren des Solenoids mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes finden. Das magnetische Feld innerhalb eines Solenoids kann berechnet werden als:
B = μ0 * n * I
Wobei:
- B das magnetische Feld ist (T)
- μ0 die Permeabilität des freien Raums ist (4π × 10−7 Tm/A)
- n die Anzahl der Windungen pro Längeneinheit ist (Windungen/m)
- I der Strom ist (A)
Die Anzahl der Windungen pro Längeneinheit (n) ist:
n = Gesamtanzahl der Windungen / Länge des Solenoids = 200 Windungen / 0,5 m = 400 Windungen/m
Nun können wir das magnetische Feld im Inneren des Solenoids berechnen:
B = (4π × 10−7 Tm/A) * (400 Windungen/m) * (3 A) ≈ 3,77 × 10−3 T
Anschließend wenden wir das Gaußsche Gesetz für Magnetismus an, um den gesamten magnetischen Fluss durch die geschlossene zylindrische Oberfläche zu berechnen, die das Solenoid umschließt:
∮ B • dA = 0
Da das magnetische Feld im Inneren des Solenoids gleichmäßig ist und parallel zu den Seiten des Zylinders verläuft, gibt es keinen magnetischen Fluss durch die Seiten. Daher müssen wir nur den magnetischen Fluss durch die beiden kreisförmigen Enden des Zylinders berücksichtigen. Die magnetischen Feldlinien stehen senkrecht auf den kreisförmigen Enden des Zylinders, so dass der magnetische Fluss durch jedes Ende berechnet werden kann als:
Φend = B * A
Wobei A die Fläche des kreisförmigen Endes ist:
A = π * (Radius)² = π * (0,02 m)² ≈ 1,26 × 10−3 m²
Nun können wir den magnetischen Fluss durch ein Ende berechnen:
Φend = (3,77 × 10−3 T) * (1,26 × 10−3 m²) ≈ 4,75 × 10−6 Wb
Da jedoch die magnetischen Feldlinien geschlossene Schleifen bilden, ist der Fluss, der in ein Ende des Zylinders eintritt, gleich dem Fluss, der das andere Ende verlässt. Daher ist der gesamte magnetische Fluss durch die geschlossene zylindrische Oberfläche:
Φnet = Φend – Φend = 0 Wb
Wie erwartet, bestätigt das Gaußsche Gesetz für Magnetismus, dass der gesamte magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche null ist.
Berechnung von Magnetfeldern
Mehrere Gesetze und Gleichungen werden häufig für Magnetfeldberechnungen verwendet, abhängig vom spezifischen Kontext und den Quellen des Magnetfelds. Einige der wichtigsten Gesetze und Gleichungen umfassen:
