ガウスの磁気法則
ガウスの磁気法則は、電磁場の振る舞いを記述するマクスウェル方程式の四つの基本方程式の一つです。この法則は、任意の閉じた表面を通る総磁束が常にゼロであることを示しています。これは、磁場が磁気双極子によって生じ、北極と南極の両方を持ち、その場の線は常に閉じたループを形成するという磁場の基本的な性質を強調しています。
数学的には、ガウスの磁気法則は次のように表されます：
∮ B • dA = 0
ここで：
- Bは磁場ベクトル（テスラ、Tで測定）
- dAは閉じた表面上の微分面積ベクトル（平方メートル、m2で測定）
- ∮は閉じた表面上の面積分
- •はドット積
言い換えると、閉じた表面に入る総磁束は、その表面から出る総磁束に等しくなければなりません。この法則は、磁気単極子、つまり孤立した北極または南極が存在しないことを意味しています。既知のすべての磁気源は北極と南極の両方を持ち、極を分離しようとする任意の試みは新たな磁気双極子の生成を引き起こします。
ガウスの磁気法則は電磁気学の研究において基本的な原理であり、磁場に関連するさまざまな現象、例えば磁気誘導、磁性材料の振る舞い、磁場と電流の相互作用を理解する上で不可欠です。
ガウスの磁気法則の例
問題：長さ0.5 m、半径0.02 mのソレノイドがあります。これは200巻のワイヤーで構成され、3 Aの電流を流しています。ソレノイドを囲む閉じた円筒表面を通る純粋な磁束を計算してください。
解決策：まず、アンペールの法則を使用してソレノイド内の磁場を見つける必要があります。ソレノイド内の磁場は次のように計算できます：
B = μ₀ * n * I
ここで：
- Bは磁場（T）
- μ₀は真空の透磁率（4π × 10⁻⁷ Tm/A）
- nは単位長さあたりの巻数（巻/m）
- Iは電流（A）
単位長さあたりの巻数(n)は：
n = 総巻数 / ソレノイドの長さ = 200巻 / 0.5 m = 400巻/m
これで、ソレノイド内の磁場を計算できます：
B = (4π × 10⁻⁷ Tm/A) * (400巻/m) * (3 A) ≈ 3.77 × 10⁻³ T
次に、ソレノイドを囲む閉じた円筒表面を通る純粋な磁束を計算するためにガウスの磁気法則を適用します：
∮ B • dA = 0
磁場はソレノイド内で一様であり、円筒の側面に平行であるため、側面を通る磁束はありません。したがって、円筒の両円形端を通る磁束のみを考慮する必要があります。磁場線は円筒の両端に垂直であるため、一方の端を通る磁束は次のように計算できます：
Φend = B * A
ここで、Aは円形端の面積：
A = π * (半径)2 = π * (0.02 m)2 ≈ 1.26 × 10⁻³ m2
これで、一方の端を通る磁束を計算できます：
Φend = (3.77 × 10⁻³ T) * (1.26 × 10⁻³ m2) ≈ 4.75 × 10⁻⁶ Wb
しかし、磁場線は閉じたループを形成するため、円筒の一方の端に入る磁束は他方の端から出る磁束と等しくなります。したがって、閉じた円筒表面を通る純粋な磁束は：
Φnet = Φend – Φend = 0 Wb
期待通り、ガウスの磁気法則は閉じた表面を通る純粋な磁束がゼロであることを確認します。
