समान रूप से आवेशित डिस्क के कारण विद्युत क्षेत्र की गणना कैसे करें?

समान रूप से आवेशित डिस्क के कारण विद्युत क्षेत्र की गणना कैसे करें: सरल विधि और सूत्रों के साथ चरण-दर-चरण मार्गदर्शन। भौतिकी के छात्रों के लिए उपयोगी।

समान रूप से आवेशित डिस्क के कारण विद्युत क्षेत्र की गणना कैसे करें?

समान रूप से आवेशित डिस्क के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र (Electric Field) की गणना करना एक महत्वपूर्ण समस्या है जो विद्युत चुंबकत्व (Electromagnetism) के अध्ययन में प्रस्तुत होती है। इस लेख में, हम इस प्रक्रिया को आसान तरीके से समझने की कोशिश करेंगे।

चरण 1: डिस्क का स्थापना

मान लीजिए, हमारे पास कुल आवेश $ Q $ के साथ एक समान रूप से आवेशित डिस्क है जिसकी त्रिज्या $ R $ है। हम इस डिस्क के केंद्र पर एक विभेदन (coordinate system) का उपयोग करेंगे और हम उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का पता लगाना चाहेंगे जो डिस्क की धुरी (axis) पर उसकी सतह से $ z $ दूरी पर स्थित है।

चरण 2: छोटे तत्व का विचार

इस डिस्क को छोटे-छोटे रिंग्स (rings) में विभाजित किया जा सकता है। एक छोटी रिंग जिसका आंतरिक त्रिज्या $ r $ और चौड़ाई $ dr $ होती है, को देखते हैं। इस रिंग पर उपस्थित छोटे तत्व को $ dQ $ के रूप में निरूपित किया जा सकता है।

$ dA = 2 \pi r \, dr $ (छोटी रिंग का क्षेत्रफल)
$ \sigma = \frac{Q}{\pi R^2} $ (सतही आवेश घनत्व), यहां $ \pi R^2 $ पूरी डिस्क का क्षेत्रफल है।
$ dQ = \sigma \, dA = \sigma \cdot 2 \pi r \, dr $

चरण 3: विद्युत क्षेत्र के विभिन्न घटकों का विचार

इसके बाद, हमें यह देखना होगा कि रीढ़ की धुरी पर $ z $ दूरी पर स्थित बिंदु $ P $ पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र क्या होगा। छोटे रिंग के प्रत्येक छोटे तत्व से बिंदु $ P $ पर दिशा और परिमाण में प्रभाव पड़ता है।

रिंग के केंद्र से बिंदु $ P $ तक की दूरी है $\sqrt{r^2 + z^2}$
तब किसी छोटे तत्व के कारण बिंदु $ P $ पर विद्युत क्षेत्र का योगदान, $ dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{dQ}{(r^2 + z^2)} $ होगा।

इसे z दिशा में घटकित (component) किया जा सकता है:

$ dE_z = dE \cdot \cos \theta = \frac{ \frac{dQ}{4 \pi \epsilon_0 (r^2 + z^2)} \cdot z}{\sqrt{r^2 + z^2}} $ \rightarrow $= \frac{dQ \cdot z}{4 \pi \epsilon_0 (r^2 + z^2)^{3/2}}$

चरण 4: विद्युत क्षेत्र का सम्पूर्ण उन्‍मूलन

अब, kompleete रिंग पर integration करके सम्पूर्ण विद्युत क्षेत्र ज्ञात किया जा सकता है:

$ E_z = \int_{0}^{R} \frac{ \sigma \cdot z \cdot 2 \pi r \, dr }{ 4 \pi \epsilon_0 ( r^2 + z^2 )^{3/2} } $

जैसा कि $\sigma = \frac{Q}{\pi R^2} $:

$ E_z = \frac{Qz}{2 \pi \epsilon_0 R^2} \int_{0}^{R} \frac{r \, dr}{(r^2 + z^2)^{3/2}} $

चरण 5: समाधान

इस अंतिम इं‍टीग्रल को हल करने के बाद, हमें विद्युत क्षेत्र का परिणाम मिलेगा:

$ E_z = \frac{Q}{2 \pi \epsilon_0 R^2} \left(1 – \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}\right) $

इस प्रकार, समान रूप से आवेशित डिस्क के कारण किसी बिंदु पर धुरी पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात किया जा सकता है।

Summary

समान रूप से आवेशित डिस्क के कारण विद्युत क्षेत्र की गणना कैसे करें?