Comprenez le champ électrique dû à un anneau chargé en détaillant les principes fondamentaux et les calculs nécessaires dans le domaine du génie thermique.
Quel est le champ électrique dû à un anneau chargé ?
Comprendre le champ électrique dû à un anneau chargé est un problème classique en physique. Un anneau chargé est un objet simple mais fondamental qui aide à illustrer de nombreux principes électrostatiques importants. Dans cet article, nous allons explorer comment déterminer le champ électrique généré par un anneau chargé uniformément.
Configuration du problème
Considérons un anneau de rayon R portant une charge totale Q distribuée uniformément le long de sa circonférence. Notre objectif est de trouver l’expression du champ électrique en un point P situé sur l’axe qui passe par le centre de l’anneau, à une distance z du centre.
Principe de superposition
Le champ électrique résultant en un point donné est la somme vectorielle des champs électriques dus à chaque élément de charge infinitésimale de l’anneau. Pour ce faire, nous utilisons le principe de superposition, qui stipule que les champs électriques peuvent s’additionner linéairement.
Élément infinitésimal de charge
Considérons un élément infinitésimal de charge dQ sur l’anneau. En raison de la symétrie du problème, chaque élément de charge crée un champ avec une composante radiale et une composante axiale. En intégrant ces contributions sur toute la circonférence, les composantes radiales se cancèlent, ne laissant que la composante axiale non nulle.
Calcul du champ électrique
L’expression de la contribution du champ électrique dE due à l’élément dQ est donnée par la loi de Coulomb:
\[ dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{dQ}{r^2} \]
où r est la distance entre dQ et le point P, et \(\epsilon_0\) est la permittivité du vide. Dans ce cas, r peut être écrit comme:
\[ r = \sqrt{R^2 + z^2} \]
L’élément de charge dQ peut être exprimé en termes de la distribution de la charge totale Q sur la circonférence de l’anneau:
\[ dQ = \frac{Q}{2 \pi R} d\theta \]
où \(\theta\) est l’angle polar autour de l’anneau. L’intégration sur \(\theta\) donne la contribution totale du champ électrique. En utilisant la symétrie, la composante radiale du champ électrique se cancèle, laissant uniquement la composante axiale.
La composante axiale du champ électrique due à dQ est:
\[ dE_z = dE \cos\alpha \]
où \(\alpha\) est l’angle entre r et l’axe z. Ce cosinus peut être écrit comme:
\[ \cos\alpha = \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} \]
En combinant les expressions, nous obtenons:
\[ dE_z = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{dQ \cdot z}{(R^2 + z^2)^{3/2}} \]
En intégrant sur toute la circonférence, nous obtenons le champ électrique total:
\[ E_z = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q \cdot z}{(R^2 + z^2)^{3/2}} \]
Conclusion
Le champ électrique en un point P sur l’axe d’un anneau chargé uniformément est dirigé le long de l’axe et est donné par l’expression ci-dessus. Ce résultat montre comment la symétrie et le principe de superposition sont des outils puissants pour résoudre des problèmes électrostatiques. Les concepts utilisés peuvent être appliqués à des systèmes plus complexes, formant la base d’études plus avancées en électromagnétisme.
