Comment trouver le champ électrique dû à une sphère conductrice chargée ? Apprenez les bases et les étapes pour calculer et comprendre le champ électrique.
Comment trouver le champ électrique dû à une sphère conductrice chargée ?
Pour déterminer le champ électrique résultant d’une sphère conductrice chargée, il est essentiel de bien comprendre les principes de l’électrostatique et l’application de la loi de Coulomb ainsi que celle de Gauss. Ces concepts fondamentaux permettent de décrire et de quantifier le comportement du champ électrique autour de la sphère chargée.
1. Propriétés de la sphère conductrice chargée
Une sphère conductrice chargée possède les caractéristiques suivantes :
- La charge électrique se répartit uniformément sur sa surface.
- A l’intérieur de la sphère, le champ électrique est nul.
- Le champ électrique à la surface de la sphère est dirigé radialement vers l’extérieur (ou l’intérieur si la charge est négative).
2. Application de la loi de Gauss
Pour trouver le champ électrique à une distance r du centre de la sphère (où r est supérieur ou égal au rayon R de la sphère), la loi de Gauss est particulièrement utile. Cette loi stipule que le flux électrique total à travers une surface fermée est proportionnel à la charge totale enfermée par cette surface :
\( \Phi_E = \frac{Q_{\text{enfermée}}}{\epsilon_0} \)
où :
- \( \Phi_E \) est le flux électrique.
- \( Q_{\text{enfermée}} \) est la charge enfermée par la surface de Gauss.
- \( \epsilon_0 \) est la permittivité du vide.
3. Calcul du champ électrique à l’extérieur de la sphère
Considérons une surface de Gauss sphérique de rayon r centrée sur la sphère conductrice chargée. Le flux électrique à travers cette surface est donné par :
\( \Phi_E = E \cdot 4 \pi r^2 \)
En utilisant la loi de Gauss, nous obtenons :
\( E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \)
Résolvant pour le champ électrique \( E \) :
\( E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \)
Ce résultat montre que le champ électrique à l’extérieur de la sphère est équivalent à celui d’une charge ponctuelle \( Q \) située au centre de la sphère.
4. Champ électrique à l’intérieur de la sphère
À l’intérieur de la sphère conductrice (pour \( r < R \)), la charge est uniformément répartie sur la surface et donc, selon les propriétés des conducteurs en équilibre électrostatique, le champ électrique est nul :
\( E = 0 \)
En résumé :
- À l’extérieur de la sphère (\( r \geq R \)) : \( E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \)
- À l’intérieur de la sphère (\( r < R \)) : \( E = 0 \)
Ces résultats sont fondamentaux en électrostatique et sont largement utilisés dans les applications pratiques de l’ingénierie électrique et de la physique.
