Comment trouver le champ électrique dû à une coque sphérique chargée? Apprenez les concepts clés et les étapes pour calculer ce champ en physique thermique.
Comment trouver le champ électrique dû à une coque sphérique chargée ?
En physique, le champ électrique dû à une coque sphérique chargée est un concept clé, en particulier dans les applications de l’électrostatique. Cette situation peut être analysée grâce à la loi de Gauss, l’une des lois fondamentales de l’électrostatique. Voici comment procéder pour déterminer ce champ électrique.
1. La loi de Gauss
La loi de Gauss pour le champ électrique est formulée comme suit :
\[ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \]
où :
- \( \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} \) est le flux du champ électrique à travers une surface fermée \( S \).
- \( Q_{\text{enc}} \) est la charge électrique totale enfermée par la surface \( S \).
- \( \epsilon_0 \) est la permittivité du vide.
2. Cas d’une coque sphérique chargée
Supposons une coque sphérique de rayon \( R \) uniformément chargée de charge totale \( Q \). Nous devons déterminer le champ électrique à deux endroits : à l’extérieur de la coque et à l’intérieur de la coque.
2.1. Champ électrique à l’extérieur de la coque (r > R)
Quand \( r > R \), où \( r \) est la distance du centre de la sphère à un point d’intérêt à l’extérieur de la coque, nous considérons une surface gaussienne sphérique de rayon \( r \). Selon la loi de Gauss, avec une distribution sphérique de la charge, le champ électrique à l’extérieur de la coque est comme si toute la charge \( Q \) était concentrée en un point au centre :
\[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \]
En simplifiant, on obtient :
\[ E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \]
2.2. Champ électrique à l’intérieur de la coque (r < R)
Quand \( r < R \), une surface gaussienne à l'intérieur de la coque sphérique ne renferme aucune charge (puisque toute la charge est sur la coque elle-même). Donc, selon la loi de Gauss :
\[ E \cdot 4\pi r^2 = 0 \]
Cela implique que le champ électrique à l’intérieur de la coque est nul :
\[ E = 0 \]
3. Résumé
Pour une coque sphérique chargée :
- À l’extérieur de la coque (\( r > R \)), le champ électrique est \( E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \).
- À l’intérieur de la coque (\( r < R \)), le champ électrique est nul (\( E = 0 \)).
Ce résultat montre comment le champ électrique varie en fonction de la position par rapport à une coque sphérique uniformément chargée et illustre l’élégance et la puissance de la loi de Gauss en électrostatique.
