ビオ・サバールの法則 | 概要と応用例

ビオ・サバールの法則は電流が流れる導線が作る磁場を計算するための公式で、多様な応用例により電磁気学の理解が深まります。

ビオ・サバールの法則 | 概要と応用例

ビオ・サバールの法則は、電磁気学の基本的な法則のひとつであり、特に磁場の生成に関する重要な原理です。この法則は、フランスの物理学者ジャン＝バティスト・ビオとフェリックス・サバールによって発見されました。この記事では、ビオ・サバールの法則の概要とその応用例について簡単に紹介します。

ビオ・サバールの法則の概要

ビオ・サバールの法則は、電流が流れる導線が作る磁場を計算するための公式です。この法則から、微小な電流要素 \((I d\mathbf{l})\) が作る微小な磁場 \(\mathbf{dB}\) を次のように表現できます：

\[\mathbf{dB} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}}}{r^2}\]

ここで：

• \(\mu_0\) は真空の透磁率( \(\approx 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2\) )
• I は電流（アンペア）
• \(d\mathbf{l}\) は微小な導線要素
• \(\mathbf{r}\) は電流要素から観察点までの距離（メートル）
• \(\mathbf{\hat{r}}\) はその距離の単位ベクトル

この式を利用することで、導線の特定の形状に沿って積分すれば、総合的な磁場を求めることができます。

応用例

1. 長い直線導線の周りの磁場

直線導線を考えると、この導線を取り巻く磁場は円形の磁力線を形成します。これをアンペールの法則を用いても求められますが、ビオ・サバールの法則を使っても計算できます。

\[B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\]

ここで：

• B は磁場の強さ（テスラ）
• I は導線を流れる電流
• r は導線から観測点までの距離

この式は、長い直線導線の周囲に発生する磁場の強さを示しています。

2. 円形電流ループの中心の磁場

円形の電流ループの中心が作る磁場もビオ・サバールの法則を用いて計算できます。この場合、磁場は次のように表現されます：

\[B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\]

ここで：

• B は磁場の強さ
• I はループ内の電流
• R はループの半径
• z はループの中心から観測点までの高さ

特にz=0のとき（ループの中心）、磁場の強さは次のように単純化されます：

\[B = \frac{\mu_0 I}{2R}\]

3. 直角に交わる電流導線の磁場

ビオ・サバールの法則は、より複雑な幾何学的配置にも適用できます。例えば、直角に交わる二つの電流導線の磁場を計算することも可能です。この場合、各電流要素からの磁場をベクトルとして加算する必要があります。これにより、磁場の総合的な分布が求められます。

まとめ

ビオ・サバールの法則は、電流が作る磁場を理解するための強力なツールです。直線導線や円形電流ループ、複雑な電流パスなど、様々な応用例があります。この法則を理解することで、電磁気学の基礎をしっかりと押さえることができ、さらに高度な電磁気学の概念に進むための土台となります。