一様に帯電した円盤による電場の計算方法

一様に帯電した円盤による電場の計算方法を解説。基本理論から具体例まで、初心者にも分かりやすく丁寧に説明します。

一様に帯電した円盤が作る電場を計算することは、電磁気学における基本的な問題の一つです。この計算にはガウスの法則やクーロンの法則を用います。以下にその手順を示します。

用語と定義

電荷要素の定義

円盤の微小領域を考え、その領域内の微小電荷 \(dQ\) は以下で表されます：

\(dQ = \sigma dA\)

ここで、\(dA\) は微小面積要素です。
微小電荷による電場の計算

微小電荷が作る電場の大きさ \(d\vec{E}\) はクーロンの法則を用いて表されます：

\(dE = \frac{k_e dQ}{r^2}\)

ここで、\(k_e はクーロン定数 (8.99 \times 10^9 Nm^2/C^2)、r は観測点までの距離です。
距離の表現

z 軸上の任意点までの直線距離 \(r\) は、次のように表されます：

\(r = \sqrt{(R^2 + z^2)}\)
電場の積分

円盤上の微小電荷が作り出す電場成分を積分して、全体の電場を求めます。z 軸上の垂直成分 (E_z) について積分を行います：

\(E_z = \int_0^R \left( \frac{k_e \sigma 2\pi r^{‘} \cdot z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \right) dr^{‘}\)
最終結果

積分を完了すると次のような結果が得られます：

\(E_z = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} (1 – \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}})\)

ここで、\(\epsilon_0 は自由空間の誘電率 (8.85 \times 10^{-12} C^2/Nm^2)です。\)

このようにして、一様に帯電した円盤が作り出す電場を計算することができます。この方法は円盤の中心軸上の電場を求めるのに有効です。