サイクロトロン周波数の式 | 解説と計算方法

サイクロトロン周波数の計算式とその解説、電子の具体的な例を通じて理解する方法を詳しく説明します。

サイクロトロン周波数の式 | 解説と計算方法

サイクロトロンは、電磁石の磁場と高周波電圧を利用して荷電粒子を加速する装置です。サイクロトロン周波数は、この装置の動作原理の理解に不可欠な基本的な概念です。この記事では、サイクロトロン周波数の式、解説、そして計算方法について詳しく説明します。

サイクロトロン周波数とは?

サイクロトロン周波数は、荷電粒子が一定の磁場内で円運動を行う際の周回する頻度を表します。この周波数は、荷電粒子の質量と電荷、および磁場の強さに依存します。

サイクロトロン周波数の式

サイクロトロン周波数 f_c の一般的な式は以下の通りです:

\[ f_c = \frac{qB}{2\pi m} \]

  • f_c = サイクロトロン周波数 (Hz)
  • q = 粒子の電荷量 (C)
  • B = 磁場の強さ (T)
  • m = 粒子の質量 (kg)

この式が示すように、サイクロトロン周波数は電場や磁場の強さ、および荷電粒子の特性に依存します。

サイクロトロン周波数の解説

磁場中で荷電粒子が円運動をする場合、粒子にはローレンツ力が働きます。ローレンツ力は以下のように表されます:

\[ F = qvB \]

ここで v は粒子の速度です。この力が提供する向心力は円運動の半径 r に対して次のように書くことができます:

\[ qvB = \frac{mv^2}{r} \]

この式を整理すると:

\[ r = \frac{mv}{qB} \]

円運動の周期 T は、円周を速度 v で割ることで求められます:

\[ T = \frac{2\pi r}{v} \]

これに r の値を代入すると:

\[ T = \frac{2\pi \left(\frac{mv}{qB}\right)}{v} = \frac{2\pi m}{qB} \]

周波数は周期の逆数であるため、最終的にサイクロトロン周波数は:

\[ f_c = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m} \]

となります。

サイクロトロン周波数の計算方法

では、サイクロトロン周波数の計算例を見てみましょう。例えば、電子 (電荷量 q = -1.6 \times 10^{-19} C, 質量 m = 9.11 \times 10^{-31} kg) を 1 テスラ (T) の磁場に置いた場合:

  • q = \( -1.6 \times 10^{-19} \) C
  • m = \( 9.11 \times 10^{-31} \) kg
  • B = 1 T

上記の式に数値を代入すると:

\[ f_c = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times 1}{2\pi \times (9.11 \times 10^{-31})} \]

計算結果:

\[ f_c \approx 28.0 \times 10^9 \text{Hz} = 28 \text{GHz} \]

この結果は、電子が 1 テスラの磁場内でおよそ 28 ギガヘルツ (GHz) の周波数で円運動することを示します。

まとめ

サイクロトロン周波数は、荷電粒子が磁場内で円運動を行う際の基本的な特性を表す重要な概念です。この周波数を理解することで、粒子加速器やその他の電磁現象に対する深い理解を得ることができます。今回の解説と計算方法を通じて、サイクロトロン周波数の基礎をしっかり学び、さらに興味を持って頂ければ幸いです。

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