アンダーソン局在は、無秩序によって結晶内の電子や光子が局在化する現象を示し、固体物理学や材料科学で重要な概念。
アンダーソン局在 | 式の意味と計算方法
アンダーソン局在（Anderson Localization）は、結晶内の電子や光子の移動が無秩序により局在化される現象を示しています。これは、1958年に物理学者フィリップ・W・アンダーソンによって提案され、固体物理学や材料科学における重要な概念です。本記事では、アンダーソン局在の基本的な概念と計算方法について説明します。
アンダーソン局在とは？
アンダーソン局在は、電気伝導を妨げる無秩序がある場合、電子が長距離移動せず局在化（特定の場所にとどまる）する現象です。これは、金属や半導体などの材料において、無秩序が導電性に与える影響を理解するために重要です。
アンダーソン局在の数理モデル
アンダーソン局在を理解するための数理モデルは、主に一次元、二次元、三次元のハミルトニアン（Hamiltonian）を使用します。一般的な一次元モデルは、以下の形式を取ります：
\[ H = -t \sum_{i} (|i\rangle \langle i+1| + |i+1\rangle \langle i|) + \sum_{i} \epsilon_{i} |i\rangle \langle i| \]
ここで、\( t \) はホッピングエネルギー、\( |i\rangle \) は位置状態、\( \epsilon_{i} \) は位置 \( i \) におけるオンサイトエネルギーです。このモデルは、電子が格子点間を移動する際のエネルギーを表しています。
伝導度の計算方法
アンダーソン局在を定量的に評価するためには、電気伝導度（conductivity）を計算する必要があります。伝導度は、以下の式で与えられることが一般的です：
\[ \sigma = \frac{e^2 \tau n}{m^{*}} \]
ここで、
- \( \sigma \) は伝導度
- \( e \) は電子の電荷
- \( \tau \) は散乱時間
- \( n \) はキャリア密度
- \( m^{*} \) は電子の有効質量
散乱時間 \( \tau \) は、無秩序による電子の散乱頻度を示しています。
局在の特徴づけ
電子が局在化しているかどうかを判断するためには、以下の方法が使用されます：
- **局在長（localization length）**：電子の波動関数が指数関数的に減衰する範囲を測定します。局在長が有限である場合、電子は局在化していると判断されます。
- **伝導度の温度依存性**：低温で伝導度が急激に低下する場合、アンダーソン局在の可能性が高いとされます。
実験的観測
アンダーソン局在は、実験的にも確認されています。半導体や超伝導体、光学的な系において、無秩序が引き起こす局在現象が観測されています。例えば、半導体に不純物を加えたり、ランダムレーザーの研究においてアンダーソン局在が観察されています。
まとめ
アンダーソン局在は、無秩序による電子や光子の局在化現象であり、固体物理学において非常に重要な概念です。数理モデルと伝導度の計算方法を通じて、この現象を理解することができます。今後も新たな材料や技術の開発により、アンダーソン局在の研究はますます進展すると期待されています。
アンダーソン局在について興味を持ったなら、さらに詳細な専門書や論文に進んで学習してみてください。
