Calcolare il campo elettrico di un disco carico uniformemente: guida passo-passo con formule ed esempi pratici per capire meglio l’elettromagnetismo.<\/p>\n
Il calcolo del campo elettrico generato da un disco carico uniformemente \u00e8 un problema classico nell’elettromagnetismo. In questo articolo, vedremo una guida passo-passo per determinare il campo elettrico sopra il disco.<\/p>\n
Consideriamo un disco di raggio R<\/em> e carica totale Q<\/em>, distribuita uniformemente sulla superficie del disco. Supponiamo che la superficie del disco sia nel piano xy<\/em>, con il centro del disco nell’origine (0, 0, 0). Vogliamo trovare il campo elettrico lungo l’asse z<\/em> (cio\u00e8, sopra il centro del disco).<\/p>\n La densit\u00e0 di carica superficiale \u03c3<\/em> (sigma) \u00e8 data da:<\/p>\n \u03c3 = \\(\\frac{Q}{\u03c0 R^2}\\)<\/em><\/p>\n Per calcolare il campo elettrico, possiamo scomporre il disco in anelli concentrici infinitesimamente sottili. Consideriamo un anello di raggio r<\/em> e spessore dr<\/em>. La carica di tale anello dQ<\/em> \u00e8:<\/p>\n dQ = \u03c3 * 2\u03c0r * dr<\/em><\/p>\n L’anello genera un campo elettrico dE<\/em> a una distanza z<\/em> sopra il centro del disco. Componente del campo lungo l’asse z<\/em> prodotta dall’anello \u00e8 data da:<\/p>\n dE_z = \\(\\frac{1}{4\u03c0\u03b5_0}\\) * \\(\\frac{dQ * z}{(r^2 + z^2)^{3\/2}}\\)<\/em><\/p>\n Sostituendo dQ<\/em>:<\/p>\n dE_z = \\(\\frac{\u03c3 * 2\u03c0r * dr * z}{4\u03c0\u03b5_0 (r^2 + z^2)^{3\/2}}\\)<\/em><\/p>\n Per ottenere il campo elettrico totale E_z<\/em> lungo l’asse z<\/em>, dobbiamo integrare il contributo di tutti gli anelli da 0 a R<\/em>:<\/p>\n E_z = \\(\\int_{0}^{R}\\) \\(\\frac{\u03c3 * 2\u03c0r * z}{4\u03c0\u03b5_0 (r^2 + z^2)^{3\/2}}\\) dr<\/em><\/p>\n Semplificando l’integrale:<\/p>\n E_z = \\(\\frac{\u03c3z}{2\u03b5_0}\\) \\(\\int_{0}^{R}\\) \\(\\frac{r}{(r^2 + z^2)^{3\/2}}\\) dr<\/em><\/p>\n Ponendo r^2 + z^2 = u\\), possiamo cambiare variabile e trovare:<\/p>\n E_z = \\(\\frac{\u03c3z}{2\u03b5_0}\\) \\(\\int_{z^2}^{R^2 + z^2}\\) \\(\\frac{1}{u^{3\/2}}\\) du<\/em><\/p>\n Integrando:<\/p>\n E_z = \\(\\frac{\u03c3z}{2\u03b5_0}\\) \\(\\left[-\\frac{2u^{-1\/2}}{u}\\right]_{z^2}^{R^2+z^2}\\)<\/em><\/p>\n Risolvendo i limiti dell’integrale:<\/p>\n E_z = \\(\\frac{\u03c3}{2\u03b5_0}\\) \\(\\left[1 – \\frac{z}{\\sqrt{R^2+z^2}}\\right]\\)<\/em><\/p>\n Infine, sostituendo \u03c3<\/em> con \\(\\frac{Q}{\u03c0R^2}\\), otteniamo:<\/p>\n E_z = \\(\\frac{Q}{2\u03c0R^2\u03b5_0}\\) \\(\\left[1 – \\frac{z}{\\sqrt{R^2+z^2}}\\right]\\)<\/em><\/p>\n Questo \u00e8 il campo elettrico generato da un disco carico uniformemente lungo l’asse z<\/em>. Grazie alla simmetria del problema, il campo elettrico \u00e8 diretto lungo l’asse z<\/em> e varia con la distanza z<\/em> dal disco.<\/p>\n Se avete domande o desiderate ulteriori chiarimenti, non esitate a commentare! Buona esplorazione dell\u2019elettromagnetismo!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Calcolare il campo elettrico di un disco carico uniformemente: guida passo-passo con formule ed esempi pratici per capire meglio l’elettromagnetismo.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_generate-full-width-content":"","footnotes":""},"categories":[100],"tags":[],"class_list":["post-211695","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-domande","generate-columns","tablet-grid-50","mobile-grid-100","grid-parent","grid-50"],"yoast_head":"\nDistribuzione di carica superficiale<\/h2>\n
Campo elettrico di un anello infinitesimale<\/h2>\n
Campo elettrico totale<\/h2>\n
Risultato finale<\/h2>\n