Calcolare il campo elettrico di un disco carico uniformemente: guida passo-passo con formule ed esempi pratici per capire meglio l’elettromagnetismo.
Come calcolare il campo elettrico di un disco carico uniformemente
Il calcolo del campo elettrico generato da un disco carico uniformemente è un problema classico nell’elettromagnetismo. In questo articolo, vedremo una guida passo-passo per determinare il campo elettrico sopra il disco.
Configurazione del problema
Consideriamo un disco di raggio R e carica totale Q, distribuita uniformemente sulla superficie del disco. Supponiamo che la superficie del disco sia nel piano xy, con il centro del disco nell’origine (0, 0, 0). Vogliamo trovare il campo elettrico lungo l’asse z (cioè, sopra il centro del disco).
Distribuzione di carica superficiale
La densità di carica superficiale σ (sigma) è data da:
σ = \(\frac{Q}{π R^2}\)
Campo elettrico di un anello infinitesimale
Per calcolare il campo elettrico, possiamo scomporre il disco in anelli concentrici infinitesimamente sottili. Consideriamo un anello di raggio r e spessore dr. La carica di tale anello dQ è:
dQ = σ * 2πr * dr
L’anello genera un campo elettrico dE a una distanza z sopra il centro del disco. Componente del campo lungo l’asse z prodotta dall’anello è data da:
dE_z = \(\frac{1}{4πε_0}\) * \(\frac{dQ * z}{(r^2 + z^2)^{3/2}}\)
Sostituendo dQ:
dE_z = \(\frac{σ * 2πr * dr * z}{4πε_0 (r^2 + z^2)^{3/2}}\)
Campo elettrico totale
Per ottenere il campo elettrico totale E_z lungo l’asse z, dobbiamo integrare il contributo di tutti gli anelli da 0 a R:
E_z = \(\int_{0}^{R}\) \(\frac{σ * 2πr * z}{4πε_0 (r^2 + z^2)^{3/2}}\) dr
Semplificando l’integrale:
E_z = \(\frac{σz}{2ε_0}\) \(\int_{0}^{R}\) \(\frac{r}{(r^2 + z^2)^{3/2}}\) dr
Ponendo r^2 + z^2 = u\), possiamo cambiare variabile e trovare:
E_z = \(\frac{σz}{2ε_0}\) \(\int_{z^2}^{R^2 + z^2}\) \(\frac{1}{u^{3/2}}\) du
Integrando:
E_z = \(\frac{σz}{2ε_0}\) \(\left[-\frac{2u^{-1/2}}{u}\right]_{z^2}^{R^2+z^2}\)
Risolvendo i limiti dell’integrale:
E_z = \(\frac{σ}{2ε_0}\) \(\left[1 – \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right]\)
Risultato finale
Infine, sostituendo σ con \(\frac{Q}{πR^2}\), otteniamo:
E_z = \(\frac{Q}{2πR^2ε_0}\) \(\left[1 – \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right]\)
Questo è il campo elettrico generato da un disco carico uniformemente lungo l’asse z. Grazie alla simmetria del problema, il campo elettrico è diretto lungo l’asse z e varia con la distanza z dal disco.
Se avete domande o desiderate ulteriori chiarimenti, non esitate a commentare! Buona esplorazione dell’elettromagnetismo!
