La legge di Gauss spiega come il flusso elettrico è legato alla carica elettrica all’interno di una superficie chiusa; fondamento dell’elettromagnetismo.
Che cos’è la legge di Gauss?
La legge di Gauss è una delle quattro equazioni di Maxwell che formano la base dell’elettromagnetismo classico. Essa descrive come il campo elettrico si distribuisce nello spazio ed è particolarmente utile per calcolare il campo elettrico in situazioni dove c’è un’alta simmetria.
Enunciato della legge di Gauss
La legge di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla carica elettrica totale contenuta all’interno di quella superficie. Matematicamente, la legge di Gauss può essere espressa nel modo seguente:
\[ \oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0} \]
Dove:
- \(\oint_{S}\) rappresenta l’integrale di superficie chiuso.
- \(\mathbf{E}\) è il campo elettrico.
- \(d\mathbf{A}\) è un elemento infinitesimo di superficie orientato secondo la normale alla superficie stessa.
- \(Q_{\text{int}}\) è la carica totale contenuta entro la superficie \(S\).
- \(\epsilon_0\) è la costante dielettrica del vuoto, noto anche come permittività del vuoto.
Applicazioni della legge di Gauss
La legge di Gauss è estremamente utile per calcolare il campo elettrico in situazioni con simmetria sferica, cilindrica o piana. Ecco alcuni esempi comuni:
- Carica puntiforme: Per una carica puntiforme \(q\), posizionata al centro di una superficie sferica di raggio \(r\), il campo elettrico \(E\) è dato da:
\[ E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \] - Filo infinito uniformemente carico: Per un filo di lunghezza infinita con densità lineare di carica \(\lambda\), il campo elettrico \(E\) a una distanza \(r\) dal filo è dato da:
\[ E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} \] - Piano infinito uniformemente carico: Per un piano infinitamente esteso con densità di carica superficiale \(\sigma\), il campo elettrico \(E\) è costante e dato da:
\[ E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \]
Relazione con altre equazioni di Maxwell
La legge di Gauss per l’elettricità è una delle quattro equazioni di Maxwell, che includono anche la legge di Gauss per il magnetismo, la legge di Faraday dell’induzione e la legge di Ampère-Maxwell. Insieme, queste equazioni descrivono come i campi elettrici e magnetici si propagano e interagiscono con la materia.
Conclusione
La legge di Gauss è un principio fondamentale dell’elettromagnetismo. Essa fornisce un metodo potente e semplice per calcolare il campo elettrico in molte situazioni. Comprendere questa legge è essenziale per chiunque studi fisica o ingegneria, poiché essa costituisce uno dei pilastri su cui si basa la teoria elettromagnetica.
