Calculer le champ électrique d’un disque chargé uniformément : guide pas-à-pas pour comprendre les principes de l’ingénierie thermique et leurs applications pratiques.
Comment calculer le champ électrique d’un disque chargé uniformément ?
Calculer le champ électrique d’un disque chargé uniformément est un problème classique en électrostatique. Pour une compréhension claire, voici les étapes détaillées qui vous aideront à déterminer le champ électrique à une distance z au-dessus du centre du disque.
Hypothèses et Notations
- Le disque a un rayon R.
- La densité de charge superficielle est uniforme et notée σ (sigma), exprimée en coulombs par mètre carré (C/m2).
- Nous cherchons le champ électrique à une distance z au-dessus du centre du disque.
Méthode de Calcul
Pour résoudre ce problème, nous utilisons la superposition des contributions de petits éléments de charge sur le disque.
- Considérons un élément de surface infinitésimal dA sur le disque. Cet élément peut être décrit en coordonnées polaires (r, θ) où r est la distance radiale et θ est l’angle azimutal.
- La charge élémentaire dQ sur cet élément est :
dQ = σ * dA = σ * r * dr * dθ
- La contribution au champ électrique, dE, à une distance z au-dessus du centre due à cette charge élémentaire est donnée par la loi de Coulomb :
dE = \(\frac{k_e * dQ}{r^2 + z^2}\)
- L’élément de champ électrique dE a des composants à la fois dans la direction z (verticale) et dans le plan. Cependant, grâce à la symétrie, les composants horizontaux s’annulent, ne laissant que la composante verticale dEz qui contribue au champ total.
dEz = dE * \(\frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}}\) = \(\frac{k_e * dQ}{(r^2 + z^2)^{3/2}} * z\)
- En intégrant dEz sur la surface du disque entière, nous obtenons :
Ez = \(\int_{disk} \frac{k_e * \sigma * r * dr * dθ * z}{(r^2 + z^2)^{3/2}}\)
Intégration Finale
Pour effectuer cette intégration, nous devons d’abord intégrer sur θ de 0 à 2π, puis sur r de 0 à R :
Ez = 2πσz \(\int_0^R \frac{r * dr}{(r^2 + z^2)^{3/2}}\)
Utilisons la substitution u = r^2 + z^2, donc du = 2r dr. Cela nous permet de réécrire l’intégrale :
\(E_z = 2πσz \int_{z^2}^{R^2 + z^2} \frac{du}{2u^{3/2}}\)
Cette intégrale est évaluée comme suit :
\(E_z = πασ \left[\frac{-2}{u^{1/2}}\right]_{z^2}^{R^2 + z^2}\)
L’évaluation de cette intégrale donne :
\(E_z = 2πσ \left[1 – \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}\right]\)
Conclusion
Le champ électrique Ez au-dessus du centre d’un disque chargé uniformément à une distance z est donné par :
\(E_z = 2πσ \left[1 – \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}\right]\)
Ce résultat montre comment le champ électrique dépend à la fois de la densité de charge superficielle σ, du rayon du disque R et de la distance z au-dessus du disque.
