{"id":78779,"date":"2024-01-14T13:22:05","date_gmt":"2024-01-14T13:22:05","guid":{"rendered":"https:\/\/www.electricity-magnetism.org\/maxwellsche-gleichungen-in-integral-und-differentialform\/"},"modified":"2024-01-14T16:47:23","modified_gmt":"2024-01-14T16:47:23","slug":"maxwellsche-gleichungen-in-integral-und-differentialform","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.electricity-magnetism.org\/de\/maxwellsche-gleichungen-in-integral-und-differentialform\/","title":{"rendered":"Maxwellsche Gleichungen in Integral- und Differentialform |"},"content":{"rendered":"<h2>Maxwells Gleichungen in Integral- und Differentialform<\/h2>\n<p>Maxwells Gleichungen sind fundamentale Gesetze in der Elektrodynamik, die die Beziehungen zwischen elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben. Diese Gleichungen k\u00f6nnen sowohl in Integral- als auch in Differentialform dargestellt werden und sind grundlegend f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis elektromagnetischer Ph\u00e4nomene. In diesem Artikel werden beide Formen dieser Gleichungen vorgestellt und erl\u00e4utert.<\/p>\n<h2>Gau\u00dfsches Gesetz f\u00fcr Elektrizit\u00e4t<\/h2>\n<p>Das Gau\u00dfsche Gesetz f\u00fcr Elektrizit\u00e4t bezieht sich auf die Verteilung elektrischer Ladungen und die daraus resultierenden elektrischen Felder.<br \/>\n<strong>Integralform:<\/strong><\/p>\n<pre>\u222e E \u2022 dA = (1\/\u03b5<sub>\u2080<\/sub>) \u222b \u03c1 dV<\/pre>\n<p><strong>Differentialform:<\/strong><\/p>\n<pre>\u2207 \u2022 E = \u03c1\/\u03b5<sub>\u2080<\/sub><\/pre>\n<p>Die Integralform beschreibt den Gesamtfluss des elektrischen Feldes E durch eine geschlossene Oberfl\u00e4che und ist proportional zur eingeschlossenen Ladung. Die Differentialform stellt die lokale Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und der Ladungsdichte \u03c1 dar.<\/p>\n<h2>Gau\u00dfsches Gesetz f\u00fcr Magnetismus<\/h2>\n<p>Das Gau\u00dfsche Gesetz f\u00fcr Magnetismus postuliert, dass magnetische Monopole nicht existieren.<br \/>\n<strong>Integralform:<\/strong><\/p>\n<pre>\u222e B \u2022 dA = 0<\/pre>\n<p><strong>Differentialform:<\/strong><\/p>\n<pre>\u2207 \u2022 B = 0<\/pre>\n<p>Beide Formen zeigen, dass der Gesamtfluss eines magnetischen Feldes B durch eine geschlossene Oberfl\u00e4che gleich null ist, was die Nichtexistenz magnetischer Monopole impliziert.<\/p>\n<h2>Faradaysches Gesetz der elektromagnetischen Induktion<\/h2>\n<p>Dieses Gesetz beschreibt, wie sich zeitlich ver\u00e4ndernde Magnetfelder elektrische Felder erzeugen.<br \/>\n<strong>Integralform:<\/strong><\/p>\n<pre>\u222e E \u2022 dl = -d(\u222b B \u2022 dA)\/dt<\/pre>\n<p><strong>Differentialform:<\/strong><\/p>\n<pre>\u2207 \u00d7 E = -\u2202B\/\u2202t<\/pre>\n<p>Die Integralform bezieht sich auf die induzierte elektromotorische Kraft in einer geschlossenen Schleife, w\u00e4hrend die Differentialform zeigt, wie die zeitliche \u00c4nderung des Magnetfeldes das elektrische Feld beeinflusst.<\/p>\n<h2>Amp\u00e8resches Gesetz mit Maxwells Erweiterung (Ampere-Maxwell-Gesetz)<\/h2>\n<p>Dieses Gesetz verkn\u00fcpft das Magnetfeld mit dem elektrischen Strom und der zeitlichen \u00c4nderung des elektrischen Feldes.<br \/>\n<strong>Integralform:<\/strong><\/p>\n<pre>\u222e B \u2022 dl = \u03bc<sub>\u2080<\/sub> ( \u222b J \u2022 dA + \u03b5<sub>\u2080<\/sub> * d(\u222b E \u2022 dA)\/dt )<\/pre>\n<p><strong>Differentialform:<\/strong><\/p>\n<pre>\u2207 \u00d7 B = \u03bc<sub>\u2080<\/sub>(J + \u03b5<sub>\u2080<\/sub> \u2202E\/\u2202t)<\/pre>\n<p>Die Integralform ber\u00fccksichtigt sowohl den konventionellen Strom als auch den Verschiebungsstrom, w\u00e4hrend die Differentialform die Beziehung zwischen Magnetfeldern und Str\u00f6men sowie zeitlichen \u00c4nderungen des elektrischen Feldes lokal beschreibt.<\/p>\n<h2>Zusammenfassung<\/h2>\n<p>In diesen Gleichungen repr\u00e4sentieren E und B die elektrischen bzw. magnetischen Felder, \u03c1 die elektrische Ladungsdichte und J die elektrische Stromdichte. \u03b5<sub>\u2080<\/sub> ist die elektrische Feldkonstante (Vakuumpermittivit\u00e4t) und \u03bc<sub>\u2080<\/sub> die magnetische Feldkonstante (Vakuumpermeabilit\u00e4t). \u2207 (Nabla) ist ein Vektor-Differentialoperator, der zur Berechnung der Divergenz (\u2207 \u2022) und der Rotation (\u2207 \u00d7) verwendet wird. \u2202\/\u2202t stellt die partielle Ableitung nach der Zeit dar.<\/p>\n<p>Die Integralform der Maxwellschen Gleichungen befasst sich mit geschlossenen Oberfl\u00e4chen (Fluxintegrale) und geschlossenen Schleifen (Pfadintegrale), w\u00e4hrend die Differentialform die lokalen Eigenschaften elektrischer und magnetischer Felder in Bezug auf die Ladungs- und Stromverteilungen an einem Punkt im Raum darstellt. Beide Formen der Gleichungen werden in der Analyse elektromagnetischer Ph\u00e4nomene h\u00e4ufig verwendet.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.electricity-magnetism.org\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/logo.png\" alt=\"Maxwell's equations in integral and differential form\" \/><\/p>\n<div style=\"text-align: center; font-size: 20px;\">\n    <a href=\"https:\/\/www.electricity-magnetism.org\/maxwells-equations-in-integral-and-differential-form\/\">Original Article<\/a>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Maxwell-Gleichungen k\u00f6nnen sowohl in Integral- als auch in Differentialform geschrieben werden. 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